Question

设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导且f'(x)<=0.证明：F(x)=1/(x-a)∫(a,x)f(t)dt在区间(a,b)内↘

Answer 1

F'(x)=【f(x)(x－a)－∫(a,x)f(t)dt】/(x－a)^2
＝【f(x)(x－a)－f(t0)(x－a)】/(x－a)^2
＝【f(x)－f(t0)】/(x－a)
<=0，其中t0位于a和x之间，因此由题意知道f(x)是递减的，故f(x)<=f(t0)。