Question

设x,y为正数，且2x+3y=10，求8/x+3/y最小值。用柯西不等式的方法

Answer 1

柯西不等式：(a^2+b^2)(c^2+ d^2)≥(ac+bd)^2

【(√2x)²+(√3y)²】*【√(8/x)²+√(3/y) ²】≥【√2x*√(8/x)+√3y*√(3/y)】²
即 (2x+3y)(8/x+3/y)≥(4+3)²=49
所以 10(8/x+3/y)≥49
所以 8/x+3/y≥49/10
所以 8/x+3/y最小值49/10

追问

但是答案是5/2啊？

追答

不可能吧
另法：基本不等式
10*(8/x+3/y)
=(2x+3y)*(8/x+3/y)
=16+9+24y/x+6x/y
≥25+2√24*6
=25+24
=49
（当且仅当24y/x=6x/y时等号成立）
所以 8/x+3/y≥49/10
所以 8/x+3/y最小值49/10

Answer 2

8/x+3/y=（2x+3y）*（8/x+3/y）/10
=16+9+（24y/x+6x/y）>=24+2根号（24y/x*6x/y）==49
此时24y/x=6x/y