Question

设函数f(x)=Inx+In(2-x)+ax,,(a>0).（1） 当a=1时，求f(x)的单调区间。（2） 若f(x)在(0，1]上的最大值为

2） 若f(x)在(0，1]上的最大值为1/2求a的值

Answer 1

分析：
（1）已知a=1，f′（x）=1/x-1/（2-x）+1，求解f（x）的单调区间，只需令f′（x）＞0解出单调增区间，令f′（x）＜0解出单调减区间．
（2）区间（0，1]上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值．
解答：
解：对函数求导得：f′(x)=1/x-1/（2-x）+a，定义域为（0，2）
（1）当a=1时，f′（x）=1/x-1/（2-x）+1，
当f′（x）＞0，即0＜x＜√2时，f（x）为增函数；当f′（x）＜0，√2＜x＜2时，f（x）为减函数．
所以f（x）的单调增区间为（0，√2），单调减区间为（√2，2）
（2）当x∈（0，1]有最大值，则必不为减函数，且f′(x)=1/x-1/（2-x）+a＞0，为单调递增区间．
最大值在右端点取到．fmax=f(1)=a=1/2
所以a=1/2．

Answer 2

解析：函数的定义域：(0，2)
（1）当a=1时，由题得：f(x)=In(2x-x²)+x
令：φ(x)=2x-x²，其单调递增区间(0，1]；其单调递减区间[1，2)
由复合函数“同增异减”的特性知：
f(x)的单调递增区间为(0，1]；其单调递减区间为[1，2)。
（2）因f(x)的单调递增区间为(0，1]，若f(x)在(0，1]上的最大值为1/2，那么可得：
f(1)=½，即：a=½。