Question

设数列an的前n项和为Sn,已知Sn=2an-2^n+1,求an的通项公式

Answer 1

题是Sn=2an-2^（n+1）吧，用Sn法，写出S(n+1),再用S(n+1)减Sn，得出关于an和a(n+1)的式子，整理后等式左右同时除以2^(n+1),可证﹛an/2^n﹜为等差数列，之后就好做啦！结果an=2^n×(n+1)

Answer 2

Sn=2an-2^n+1, (1)
S(n+1)=2a(n+1)-2^(n+1)+1 (2)
(2)-(1):
S(n+1)-Sn=2a(n+1)-2^(n+1)-2an-2^n
a(n+1)=2a(n+1)-2an-2^n
a(n+1)=2an+2^n
a(n+1)/2^n=an/2^(n-1)+1
a(n+1)/2^n-an/2^(n-1)=1
∴{an/2^(n-1)}为等差数列，
公差为1
a1=2a1-2+1, a1=2
∴an/2^(n-1)=2/1 +n-1
∴an=n*2^(n-1)

Answer 3

n=1时，a1=2a1-2+1 a1=1
n>=2时，an=Sn-S(n-1)=2an-2^n+1-2a(n-1)+2^(n-1)-1
=2an-2a(n-1)-2^(n-1)
an=2a(n-1)+2^(n-1)
an/2^n=a(n-1)/2^(n-1)+1/2
所以{an/2^n}是以a1/2=1/2为首项，1/2为公差的等差数列
an/2^n=n/2
an=n*2^(n-1)
综上所述，an=n*2^(n-1)

Answer 4

n=1时，a1=2a1-2+1 a1=1
n>=2时，an=Sn-S(n-1)
=2an-2^n+1-2a(n-1)+2^(n-1)-1
=2an-2a(n-1)-2^(n-1)
an=2a(n-1)+2^(n-1)
两边同时除以2^(n-1)
an/2^(n-1)=a(n-1)/2^(n-2)+1
an/2^(n-1)-a(n-1)/2^(n-2)+1
所以{an/2^(n-1)}是等差数列,公差的为1
an/2^(n-1)=1+(n-1)=n
综上所述，an=n*2^(n-1)