Question

证证明：若级数∑an收敛，∑（bn+1-bn）绝对收敛，则级数∑anbn也收敛

Answer 1

记Sn=求和(k=1到n)ak，则Sn收敛于S，且Sn有界，记|Sn|<=M。于是由
|Sk(bk--b(k+1))|<=M|bk--b(k+1)|，知道级数：求和（k=1到无穷）Sk(bk--b(k+1))绝对收敛。
另外由级数：求和（n=1到无穷）(b(n+1)--bn)绝对收敛知道是收敛的，其部分和为b(n+1)--b1，因此数列{bn}是收敛的。
再用Abel分部求和公式有
求和（k=1到n）akbk=求和（k=1到n--1）Sk(bk--b(k+1))+Snbn，由前面证明知道第一个级数收敛，Sn和bn都收敛，因此当n趋于无穷时，要证级数的部分和数列有极限，故收敛。

追问

bn收敛怎么得到的？

追答

求和（n=1到无穷）(b(n+1)--bn)绝对收敛，因此求和（n=1到无穷）(b(n+1)--bn)收敛，其部分和为b(n+1)--b1，故部分和数列{bn--b1}收敛，因此数列{bn}是收敛的。