Question

已知数列{an}的首项a1=2/3 a（n+1)=2an/an+1 n=1 ， 2 ，3 ………… 证明数列{1/an—1}是等比数列

求数列{n/an}的前n项和Sn

Answer 1

a(n+1)=2an/(an+1)，则1/a(n+1)=(an+1)/(2an)=1/2+1/(2an)。
1/a(n+1)-1=1/2+1/(2an)-1=1/(2an)-1/2=(1/2)(1/an-1)，1/a1-1=3/2-1=1/2。
所以，{1/an-1}是首项为1/2，公比为1/2的等比数列。
{1/an-1}的通项公式为1/an-1=(1/2)^n，1/an=(1/2)^n+1。
Sn=1/2+1+2*(1/2)^2+2+…+n*(1/2)^n+n=1/2+2*(1/2)^2+…+n*(1/2)^n+n(n+1)/2
设Tn=1/2+2*(1/2)^2+…+n*(1/2)^n
(1)
(1)/2得：(1/2)Tn=(1/2)^2+2*(1/2)^3+…+n*(1/2)^(n+1)
(2)
(1)-(2)得：(1/2)Tn=1/2+(1/2)^2+…+(1/2)^n-n*(1/2)^(n+1)=1-(1/2)^n-n*(1/2)^(n+1)
Tn=2-(1/2)^(n-1)-n*(1/2)^n
Sn=2-(1/2)^(n-1)-n*(1/2)^n+n(n+1)/2

Answer 2

证明:
1/a1 -1=1/2≠0
a(n+1)=2a(n)/a(n) +1
取倒数
1/a(n+1)=(an +1)/2a(n)=1/2 +1/2 *[1/a(n)]
1/a(n+1) -1=1/2*(1/an)-1/2=(1/2)*[1/a(n) -1]
所以 【1/a(n+1) -1】 /【1/a(n) -1】=1/2是常数，
所以 {1/a(n) -1}是等比数列

Answer 3

先倒数1/a(n+1)=1/2+1/2an
俩边同时减1得1/a(n+1)
—1=1/2an
—1/2=1/2(1/an
—1)
所以就是等比数列
公比是1/2
和自己算
1—(1/2)n次方