Question

观察下列等式：1×（1/2）=1-（1/2），2×（2/3）=2-（2/3），3×（3/4）=3-（3/4），.....

1）猜想并写出第n个等式；
（2）证明你写出的等式的正确性。

Answer 1

n×[n/(n+1)]=n-n/(n+1)
左边=n²/(n+1)
右边=n-n/(n+1)=[n(n+1)-n]/(n+1)=[n²+n-n]/(n+1)=左边
所以
成立。

Answer 2

1）猜想并写出第n个等式；
n×n/(n+1)=n-n/(n+1)

（2）证明你写出的等式的正确性。
n×n/(n+1)
=n²/(n+1)
=(n²-1+1)/(n+1)
=[(n+1)(n-1)+1]//(n+1)
=n-1+1/(n+1)
=n+(1-n-1)/(n+1)
=n-n/(n+1)

Answer 3

1）第n个等式为n×n/（n+1）=n-n/（n+1）
2）∵n-n/（n+1）=〔n×（n+1）-n〕/（n+1）
=n×n/（n+1）
∴n×n/（n+1）=n-n/（n+1）

Answer 4

第n个是：n×[n/(n＋1)]=n－[n/(n＋1)]

当n=1、2、3时，逐一验证下。

或者：n×[n/(n＋1)]=n²/(n＋1)
n－[n/(n＋1)]=[n(n＋1)－n]/(n＋1)=n²/(n＋1)

Answer 5

n×n/(n+1)=n-n/(n+1)

证明：
n×n/(n+1)
=[(n+1)-1]n/(n+1)
=n-n/(n+1)