在三角形ABC中,已知A>B>C.A=2C.b=4,a+c=8,求a,c的长 40
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解答:
由A>B>C得:a>b>c,
在△ABC的AC边上截BD=BA,∴∠BDA=∠A,
由外角定理得:∠BDA=∠DBC+∠C,
∴2∠C=∠DBC+∠C,∴∠DBC=∠C,
∴DB=DC=AB=c,∴BC=a=8-c,
过B点作AC垂线,垂足为E点,
则可以设EA=ED=x,
过D点作BC垂线,垂足为F点,
则CF=½﹙8-c﹚,
在直角△DFC与直角△BEC中,
由FC∶DC=EC∶BC得:
①½﹙8-c﹚∶c=﹙x+c﹚∶﹙8-c﹚
②a=2x+c=4
解得:
c=16/5
∴a=24/5
由A>B>C得:a>b>c,
在△ABC的AC边上截BD=BA,∴∠BDA=∠A,
由外角定理得:∠BDA=∠DBC+∠C,
∴2∠C=∠DBC+∠C,∴∠DBC=∠C,
∴DB=DC=AB=c,∴BC=a=8-c,
过B点作AC垂线,垂足为E点,
则可以设EA=ED=x,
过D点作BC垂线,垂足为F点,
则CF=½﹙8-c﹚,
在直角△DFC与直角△BEC中,
由FC∶DC=EC∶BC得:
①½﹙8-c﹚∶c=﹙x+c﹚∶﹙8-c﹚
②a=2x+c=4
解得:
c=16/5
∴a=24/5
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2012-02-28
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在三角行ABC中,已知∠A>∠B>∠C且∠A=2∠C,b=4,a+c=8,求a,c的长.
A=2C
sinB=sin(180-B)=sin(A+C)=sin3C
sinA=sin2C
由正弦定理得
b/sinB=(a+c)/(sinA+sinC)
4/sin3C=8/(sinA+sinC)
2sin3C=sin2C+sinC
之后用3倍2倍角及恒等式可得出8cos^2C-2cosC-3=0
所以cosC=3/4 (cosC=-1/2舍去)
sinC=√7/4
sinA=sin2C=3√7/8
a/c=sinA/sinc=3:2
所以a=24/5 c=16/5
A=2C
sinB=sin(180-B)=sin(A+C)=sin3C
sinA=sin2C
由正弦定理得
b/sinB=(a+c)/(sinA+sinC)
4/sin3C=8/(sinA+sinC)
2sin3C=sin2C+sinC
之后用3倍2倍角及恒等式可得出8cos^2C-2cosC-3=0
所以cosC=3/4 (cosC=-1/2舍去)
sinC=√7/4
sinA=sin2C=3√7/8
a/c=sinA/sinc=3:2
所以a=24/5 c=16/5
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A=2C,则sinA=sin2C=2sinCcosC,即:2cosC=sinA/sinC=a/c,则:a/c=(a²+b²-c²)/(ab),代入b=4及a=8-c,得5c²-36c+64=0,解得:c=4【舍去】或c=16/5,从而a=24/5。
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