Question

已知a+b+c=a^2+b^2+c^2=2,求证:a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2

Answer 1

a+b+c=2平方得a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=4
a^2+b^2+c^2=2
所以ab+ac+bc = 1
设abc = k
那么a,b,c是方程x^3-2x^2+x-k = 0的3个根
所以a(1-a)^2 = a(a^2-2a+1) = a^3 -2a^2 + a = k
同理可以得到b(1-b)^2=c(1-c)^2 = k
所以a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2

追问

兄弟，哪来的x？

追答

这个方法初中理解不好换个
ab+bc+ac=1 ab=1-c(a+b)=1-2c-c^2=（c-1）^2................两边同乘c
同理ac=（b-1）^2......................两边同乘b
bc=（a-1）^2两边同乘a
所以abc=a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2