Question

如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上

如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（，0），点B在抛物线上．

（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；

（2）抛物线的关系式为 ；

（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；

（4）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达的位置．请判断点、是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．

Answer 1

解：

由题意得

（1）

∵AC=√5，CO=1，

∴AO=√（5-1）=2，

∴A（0，2），

做BF⊥OC，

∵BC=AC，∠AOC=∠BFC，

∠CAO=∠BCF，

∴△BFC≌△COA，

∴CF=AO=2，

∴B（-3，1）

故答案为：A（0，2），B（-3，1）．

（2）

将B（-3，1）代入y=ax²+ax-2得：

1=9a-3a-2，

∴a=1/2，

∴y=1/2x²+1/2x-2．

（3）

如图1，可求得抛物线的顶点D（-1/2，-17/8）．

设直线BD的关系式为y=kx+b，将点B、D的坐标代入，

求得k=-5/4，b=-11/4，

∴BD的关系式为y=-5/4x-11/4．

设直线BD和x轴交点为E，则点E（-11/5，0），CE=6/5．

∴△DBC的面积为SCBE+SCED=1/2×6/5×1+1/2×6/5×17/8

=1/2×6/5×(1+17/8)=15/8

（4）

如图2，过点B′作B′M⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，

过点C′′作C′′P⊥y轴于点P．

在Rt△AB′M与Rt△BAN中，

∵AB=AB′，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，

∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．

∴B′M=AN=1，AM=BN=3，

∴B′（1，-1）．

同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得点C′（2，1）；

将点B′、C′的坐标代入y=1/2x²+1/2x-2，可知点B′、C′在抛物线上．

（事实上，点P与点N重合）

Answer 2

、