Question

回答已知：如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D、E在斜边AB上（不包括端点），且∠DCE=45°，AB=4.

（1）在图中找到两对相似三角形，并选取一对加以说明。
（2）若AE=x，BD=y，试写出x与y的函数关系式并直接写出x的取值范围
（3) 试说明：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形
（4）已知：如图二，等边三角形ABC中，点D、E在AB上（不包括端点），且∠DCE=30°，请探索当线段AD、DE、EB构成一个等腰三角形时，直接写出线段AD、DE、EB的比是多少？

Answer 1

解：（1）△AEC∽△CED，△AEC∽△BCD．
∵∠ACD+∠DCE=∠ACD+45°，
∴∠ACE=∠BDC，
∴△AEC∽△BCD；

（2）∵∠A=∠B=45°，∠AEC=∠DCB=45°+∠BCE，
∴△AEC∽△BCD，
∴BD•AE=AC2，
∴BD•AE=AC2=0.5×AB2=8，
y=8/x （2＜x＜4）．

（3）证明如下：将△ABC绕点C顺时针旋转90°，
设E点对应点为E′，连接E′D，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴旋转后B与A重合，
又∵∠DCE=45°，
∴∠E′CD′=45°，
又∵CE′=CE，CD为公共边，
∴△CE′D≌△CED，
∴DE′=DE，
又∵∠E′AC=45°，∠CAD=45°，
∴∠E′AD=90°，
∴线段DE、AD、EA总能构成一个直角三角形；

（4）AD：DE：EB=1：根号3：1．

Answer 2

个刚刚