设由坐标原点向曲线的切线所作垂线之长，等于该切点的横坐标，求曲线方程
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设所求曲线方程为y=f(x),x>0
取曲线y=f(x)上任一点P(x0,y0)
则在P点的导数为y0'
在P点的切线方程为y-y0=y0'(x-x0)
即 y0'x-y+y0-x0y0'=0
原点到该切线的距离为|y0-x0y0'|/√(y0'²+1)
由题意得 |y0-x0y0'|/√(y0'²+1)=x0
//题目中说是等于该点的横坐标,因此这里不加绝对值,这也正是题设中x>0的由来.
两边平方得 y0²+x0²y0'²-2x0y0y0'=x0²y0'²+x0²
即 2x0y0y0'=y0²-x0²
从而,对曲线y=f(x)上任意一点,必然满足方程
2xyy'=y²-x²
2y'=(y/x)-(x/y)
设u=y/x 则y=ux
y'=u'x+u
从而 2(u'x+u)=u-1/u
2xu'+2u=u-1/u
2xu'=-u-1/u
2uu'/(u²+1)=-1
两边同时积分得 ln(u²+1)=-x+C1
u²+1=e^(-x+C)
将u=y/x代入上式可以得到所求曲线的方程为
y²=x²[e^(-x+C)-1]
取曲线y=f(x)上任一点P(x0,y0)
则在P点的导数为y0'
在P点的切线方程为y-y0=y0'(x-x0)
即 y0'x-y+y0-x0y0'=0
原点到该切线的距离为|y0-x0y0'|/√(y0'²+1)
由题意得 |y0-x0y0'|/√(y0'²+1)=x0
//题目中说是等于该点的横坐标,因此这里不加绝对值,这也正是题设中x>0的由来.
两边平方得 y0²+x0²y0'²-2x0y0y0'=x0²y0'²+x0²
即 2x0y0y0'=y0²-x0²
从而,对曲线y=f(x)上任意一点,必然满足方程
2xyy'=y²-x²
2y'=(y/x)-(x/y)
设u=y/x 则y=ux
y'=u'x+u
从而 2(u'x+u)=u-1/u
2xu'+2u=u-1/u
2xu'=-u-1/u
2uu'/(u²+1)=-1
两边同时积分得 ln(u²+1)=-x+C1
u²+1=e^(-x+C)
将u=y/x代入上式可以得到所求曲线的方程为
y²=x²[e^(-x+C)-1]
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2025-02-09 广告
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