Question

求一道数学概率题的解法 ，希望有写下思路和解题过程

有3封信随机投向1至4号四个空邮筒，求：
（1）第2号邮筒恰有一封投入的概率
（2）有3个邮筒各有一封投入的概率
书后答案为(1) 27/64 (2)3/8 ，可是我觉得答案好像有问题
如果说是求2号邮箱恰有2封信的概率，和求2号邮箱没有投入信的概率 又该怎么分析呢？

Answer 1

（1）任意一封信可以任意投入四个邮箱中的一个，有四种方法，三封邮件任意投，所以共有4*4*4=64种投法。任意一封邮件投入2号信箱，剩下的2封投入1,3,4信箱中有3*3=9种方法，且2号信箱种可以投三封信的任意一封，所以第2号邮筒恰有一封投入的不同方法有3*9=27种方法。所以概率为27/64
(2)各有一封的方法为A43=24，所以答案为24/64=3/8

Answer 2

答案没问题
(1) 每封信都有4种选择，所以总数为3^4=64
第2号邮筒恰有一封投入 =C(3,1) 3^2 =27
所以概率为27/64
(2) 有3个邮筒各有一封投法= P(4,3)=24
所以概率为24/64=3/8

追问

谢谢，大概有点明白了，但我还想问下
如果说是求2号邮箱恰有2封信的概率，和求2号邮箱没有投入的信的概率 又该怎么分析呢？

追答

2号邮箱恰有2封信的概率= C(3,2) 3^1/64=9/64
2号邮箱没有投入的信=3^3/64=27/64

追问

我还有一个疑问，就是这道题3封信的解题前提，是把这3封信看成是完全一样的信，还是把这3封信看成是各自不一样的信，你追问回答的式子里C(3.2)中，同样两封信，如果因先后投入顺序不同，算是2次不相同的投法，对结果又有什么影响

追答

无所谓信是否一样,因为对于每封信投递的选择都是一样,信的内容不同并不影响投递的选择,
可以换个思路
以你提的求2号邮箱恰有2封信的概率这个问题为例
每封信选择2号邮箱都是1/4, 如果有2封的话,就是2封信组合就是C(3,2)
对于每种组合2封信的概率(1/4)^2(1-1/4)^1=3/64
C(3,2)(3/64)=9/64

Answer 3

答案是对的
首先3封信随机投向1至4号四个空邮筒有4的3次方种可能，分母为64；
第2号邮筒放一封有3种可能，另两封放入剩下3个邮筒跟前面3封信随机投向1至4号四个空邮筒一样道理，为3的2次方种可能，故为27种可能；
最后概率就为 27/64

追问

谢谢，大概有点明白了，但我还想问下
如果说是求2号邮箱恰有2封信的概率，和求2号邮箱没有投入的信的概率 又该怎么分析呢？

追答

恰有两封信 在三封种任选2封为3种可能，而剩下1封随便放入剩下3个邮筒里，又有3种可能，应该是9/64
没有信 就是3封信任意投入3个邮筒，每封信都有3个可能的邮筒选择，为3的3次方

Answer 4

1) 3*3^2/4^3=27/64
思路：先在第2个邮筒中投入一封信，有3种可以（3封信），剩下的2封信随意投入其它3个信筒，有3^2（3的平方）种可能。
2）4*3*2/4^3=3/8
思路：第一封信4种投法，第二封信随意投入其余3个邮筒，有3种投法，第三封信投入剩下的2个邮筒，有两种投法。即为4*3*2.
注：4^3（4的3次方），3封信随意投向4个信筒的投法。

追问

谢谢，大概有点明白了，但我还想问下
如果说是求2号邮箱恰有2封信的概率，和求2号邮箱没有投入的信的概率 又该怎么分析呢？

追答

追问回答：
1. 任选两封信放入2号邮箱，有C（3 2）＝3种选法，另一封信随意投入其它3个邮箱有3种投法，即：C(3 2)*3/4^3=9/64
2.2号信箱没有信，即3封信可随意投入其它3个邮箱，即3^3=27种投法。
条案为：3^3/4^3=27/64