Question

如图 ab是圆o的直径,P为AB延长线上的任意一点，C为半圆ABC的中点，PD切园O於D，连接CD交AB於点E

如图 ab是圆o的直径,P为AB延长线上的任意一点，C为半圆ABC的中点，PD切园O於D，连接CD交AB於点E
求证：（1）PD=PE
（2）PE‘2=PA.•PB

Answer 1

证明：
1、连接OC、OD
∵AB为直径，C为半圆ABC的中点
∴OC⊥AB
∴∠OCD+∠OEC＝90
∵∠DEP＝∠OEC
∴∠OCD+∠DEP＝90
∵OC＝OD
∴∠OCD＝∠ODC
∴∠ODC+∠DEP＝90
∵PD切圆O于点D
∴∠ODC+∠EDP＝90
∴∠DEP＝∠EDP
∴PD＝PE
2、连接AD、BD
∵PD切圆O于点D
∴∠BDP+∠ODB＝90
∵OB＝OD
∴∠OBD＝∠ODB
∴∠BDP+∠OBD＝90
∵AB为直径
∴∠ADB＝90
∴∠BAD+∠OBD＝90
∴∠BAD＝∠BDP
∵∠P＝∠P
∴△PAD相似于△PDB
∴PD/PA＝PB/PD
∴PD²＝PA.•PB
∵PE＝PD
∴PE²＝PA.•PB

Answer 2

证明：（1）连接OC、OD，（1分）
∵C是半圆ACB的中点
∴∠COA=∠COB
∵∠COA+∠COB=180°
∴∠COA=∠COB=90°
∴OD⊥PD，OC⊥AB．
∴∠PDE=90°-∠ODE，
∠PED=∠CEO=90°-∠C，
又∵OC=OD，
∴∠C=∠ODE，
∴∠PDE=∠PED．（4分）
∴PE=PD．（5分）

（2）连接AD、BD，（6分）
∴∠ADB=90°．
∵∠BDP=90°-∠ODB，∠A=90°-∠OBD，
又∵∠OBD=∠ODB，∴∠BDP=∠A，
∵∠P=∠P，
∴△PDB∽△PAD．（8分）
∴PDPB=
PAPD，∴PD2=PA•PB．
∴PE2=PA•PB．（10分）

Answer 3

1)连接AD，BD
∵FD是圆O的切线
∴<BDP=<PAD( 同弧上的弦切角与圆周角相等）
∵C是半圆ACB的中点
∴<ADC=<BDC (等弧对等角）
∵<PED=<PAD+<ADC（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和）
而<PDE=<BDP+<BDC
∴<PDE=PAD+<ADC=<PED
∴PD=PE
2)根据切割线定理
PD²=PA*PB
∵PE=PD
∴PE²=PA*PB