Question

如图，AB，AC分别是圆O的直径和弦，D是半圆弧AB上的一点，过点D作DH ⊥AB，垂足为

如图，AB，AC分别是圆O的直径和弦，D是半圆弧AB上的一点，过点D作DH ⊥AB，垂足为H，延长DH交AC于E，交圆O于点F，P为DF延长线上一点，
(1)探索△PEC满足什么条件时，PC是圆O的切线，并证明
(2)若F是弧AC的中点，求证：AD的平方=DF•EF

Answer 1

1、△PEC为等腰三角形，PE＝PC时，PC是圆O的切线
证明：连接OC
∵PE＝PC
∴∠PEC＝∠PCE
∵∠AED＝∠PEC
∴∠AED＝∠PCE
∵DH⊥AB
∴∠OAC+∠AED＝90
∴∠OAC+∠PCE＝90
∵OA＝OC
∴∠OCA＝∠OAC
∴∠OCA+∠PCE＝90
∴OC⊥PC
∴PC是圆O的切线
2、
证明：连接AD、AF、CF
∵AB为直径，DH⊥AB
∴AB垂直平分DF
∴AD＝AF
∵∠ADF、∠ACF所对应圆弧都为劣弧AF
∴∠ADF＝∠ACF
∵F是弧AC的中点
∴弧AF＝弧CF
∵∠FAC对应圆弧为弧CF，∠AFC对应圆弧为弧AF
∴∠FAC＝∠ACF
∴∠FAC＝∠ADF
∵∠AFE＝∠DFA
∴△AFE相似于△DFA
∴AF/EF＝DF/AD
∴AD/EF＝DF/AD
∴AD²=DF•EF

Answer 2

设PC为圆O的切线，连接OC
∵OC=OA=R，∴∠OCA=∠OAC，
∵∠AHE=90°，∴∠PEC=∠AEH=90°-∠CAO
又∠PCO=90°，∴∠PCE=90°-∠OCA=∠PEC
∴△PEC为等腰△，PE=PC
即：△PEC满足PE=PC时，PC是圆O的切线。