Question

在三角形ABC中，AB=2厘米，AC=1厘米，角平分线AD=1厘米，求ABC的面积

用正弦余弦解答。

Answer 1

方法一：
过A作AE⊥BC交BC于E。
∵AC＝AD、AE⊥CD，∴CE＝DE＝CD/2。
∵∠BAD＝∠CAD，∴由三角形内角平分线定理，有：BD/CD＝AB/AC＝2/1＝2，∴BD＝2CD。
∴BE＝BD＋DE＝2CD＋CD/2＝5CD/2。

由勾股定理，有：AB^2＝BE^2＋AE^2、AC^2＝CE^2＋AE^2，两式相减，消去AE，得：
AB^2－AC^2＝BE^2－CE^2＝25CD^2/4－CD^2/4＝6CD^2，∴6CD^2＝AB^2－AC^2＝4－1＝3，
∴CD^2＝1/2，∴CD＝√2/2，∴BD＝2CD＝√2，∴BC＝BD＋CD＝√2＋√2/2＝3√2/2。

由CE＝CD/2、CD＝√2/2，得：CE＝√2/4，
∴AE＝√（AC^2－CE^2）＝√（1－1/8）＝√7/（2√2）。
∴△ABC的面积＝（1/2）BC×AE＝（1/2）×（3√2/2）×√7/（2√2）＝（3√7/8）（平方厘米）

方法二：
由正弦定理，有：BD/sin∠BAD＝AB/sin∠ADB、CD/sin∠CAD＝AC/sin∠ADC，
∵∠ADB与∠ADC互补，∴sin∠ADB＝sin∠ADC，又∠BAD＝∠CAD，
∴BD/CD＝AB/CD＝2/1＝2，∴BD＝2CD，∴BD^2＝4CD^2。

由余弦定理，有：
BD^2＝AB^2＋AD^2－2AB×ACcos∠BAD、　CD^2＝AC^2＋AD^2－2AC×ADcos∠CAD，
∴AB^2＋AD^2－2AB×ACcos∠BAD＝4（AC^2＋AD^2－2AC×ADcos∠CAD），
∴4＋1－2×2cos∠BAD＝4（1＋1－2cos∠BAD），
∴1－4cos∠BAD＝4－8cos∠BAD，
∴4cos∠BAD＝3，
∴cos∠BAD＝3/4。

∵0°＜∠BAC＜180°，∴0°＜∠BAD＜90°，
∴sin∠BAD＝√［1－（cos∠BAD）^2］＝√（1－9/16）＝√7/4。
∴sin∠CAD＝sin∠BAD＝√7/4。
∴△ABD的面积＝（1/2）AB×ADsin∠BAD＝（1/2）×2×1×√7/4＝（√7/4）（平方厘米）。
　△ACD的面积＝（1/2）AC×ADsin∠CAD＝（1/2）×1×1×√7/4＝（√7/8）（平方厘米）。
∴△ABC的面积＝△BAD的面积＋△CAD的面积＝√7/4＋√7/8＝（3√7/8）（平方厘米）。