Question

问一道简单的不定积分题目...

∫f（x）dx=xlnx-x+c，则f（x）=？
这个应该就是对xlnx-x求导吧？我是这么算的：
xlnx-x=（xlnx）'-x'=x'lnx+x(lnx)'-1=lnx+x（1/x）-1=lnx-1
但是其实答案应该是lnx...我哪步错了？请详细说一下...我数学很糟糕反应很慢= =
我知道自己错哪了= =x乘以1/x我给丢下了...
于是问个别的题吧...f（x）=lnx，∫e^2xf'（e^x）dx=？
f（e^x）就等于X吧？那么它的导数就是1了
就等于求e^2x不定积分了...为什么答案是e^x+C呢？

Answer 1

你弄错符号f'(e^x)的意思了。
f'(e^x)不是说因为f(e^x)=x，所以对其求导就行了。
真正含义是f(e^x)表示f的导数在e^x这一点取值，f'是个函数符号，括号里面是表示
在哪一点取值，这才是函数的定义。
因此f'(x)=1/x，f'(e^x)=1/(e^x)=e^(--x)，
原积分=积分(e^x)dx=e^x+C。

Answer 2

f(x) = lnx，f(e^x) = ln(e^x) = x
∫ e^(2x)•f'(e^x) dx
= ∫ e^(2x)/(e^x)•f'(e^x) d(e^x)
= ∫ (e^x) d[f(e^x)]
= ∫ e^x d(x)
= e^x + C
用换元法，u = e^x也可以做到。