Question

如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm．P、Q两点同时从A点出发，分别以1 cm／秒和2cm／秒的速度沿A—B一C

如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm．P、Q两点同时从A点出发，分别以1 cm／秒和2cm／秒的速度沿A—B一C—D一A运动，当Q点回到A点时，P、Q两点即停止运动，设点P、Q运动时间为t秒．
(1)当点P,Q分别在AB边和BC边上运动时，设以点P,B,Q为顶点的三角形面积为6，求t的值。
（2），在（1）的条件下，设以点P,B,Q为顶点的三角形面积为S，求S的最大值

Answer 1

解：
（1）当P、Q分别在AB边和BC边上运动时，运动时间t满足5＜t＜10，BQ=2t-10，BP=10-t，
因而以P、B、Q为顶点的三角形面积为s=1/2×（2t-10）（10-t），
即s=-t^2+15t-50（5＜t＜10）；
s=6带入
6=-t^2+15t-50
t^2-15t+50+6=0
t^2-15t+56=0
(t-8)(t-7)=0
t1=8,t2=7
(2)
-t^2+15t-50
=-(t^2-15t+50)
=-[(t-15/2t)^2-25/4]
=-(t-15/2t)^2+25/4
∴S最大值是25/4

Answer 2

如要形成三角形PBQ，则要求P点在AB上，Q点在BC上，且BP两点不重合
画图可知，此时要求0〈 t〈 10
三角形PBQ的面积S=(10-t)(2t-10）/2=6
可化为（t-7.5）^2=0.25，即有：t=7,或t=8
符合条件，故有t=7或t=10

2、当Q运动矩形一圈时，所需的时间为 t=（10*2+20*2）/2=30秒
如果PBQ要成为三角形，则要求有 5〈 t〈 10 且 10〈 t〈 =30
则三角形PBQ的面积有
当 5〈 t〈 10 时，有S=(10-t)(2t-10）/2= （10 - t)(t - 5）
根据图像可知，当t=7或8时，S取得最大值
当10〈 t〈 30时，有S=（t - 10)(2t - 30)/2= （t - 10)^2 - 25
根据图像可知，当t=30时，S取得最大值