Question

已知函数f(x)=log1/2|sinx|

（1）求其定义域和值域;（2）判断其奇偶性；（3）判断f(x)的周期性，若是周期函数，求出周期；（4）求单调区间。

Answer 1

1）显然 sinx≠0，因此定义域为 ｛x|x≠kπ，k∈Z｝；
由于 0<|sinx|<=1 ，所以 log1/2 |sinx|>=0 ，即值域为 [0，+∞）。
2）由于定义域对称，且 f(-x)=log1/2 |sin(-x)|=log1/2 |-sinx|=log1/2 |sinx|=f(x) ，
所以函数是偶函数。
3）因为 f(x+π)=log1/2 |sin(x+π)|=log1/2 |-sinx|=log1/2 |sinx|=f(x) ，
因此函数为周期函数，最小正周期为 π 。
4）在（kπ-π，kπ-π/2] 上，函数为减函数，
在 [kπ-π/2，kπ）上，函数为增函数。

Answer 2

1）定义域 sinx<>0, 即x<>kπ ,k为任意整数
值域：f(x)>=0
2)f(-x)=f(x), 为偶函数
3）f(x+π )=f(x), 周期为π
4）因为底数为1/2, 周期为π ，为偶函数，因此增区间为：
（kπ +π /2,kπ+π )
减区间为：（kπ ,kπ +π /2)

追问

为什么f(x+π)=f(x)

追答

因为sin(x+π )=-sinx
取绝对值，|sin(x+π )=|sinx|

Answer 3

（1）|sinx|>0,解x求定义域，由于0<|sinx|<<1求值域（2）f(x)=f(-x)，故为偶函数，（3）f(x)=f(x+pi),故周期为pi（4）另y=log1/2u,u=|sinx|,y=log1/2u为减函数，若f(x)=log1/2|sinx|递增，只需u=|sinx|递减，若f(x)=log1/2|sinx|递减，只需u=|sinx|递增，画图求u=|sinx|的增减区间即可