Question

经过点p(2,4),且被圆x²+y²=20截得弦长为8的直线方程为

Answer 1

解：首先x=2就是一个解，因为p点在圆上，所以此时弦长恰好就是p点纵坐标的两倍。其次你画图可以看到，还有一条满足条件的直线，它是和直线x = 2关于直线 y = 2x对称的（直线 y = 2x与圆相交所得的正好是直径，圆是关于直径对称的图形），而且绝对不会有第三条直线满足题设要求。这是因为，如果设直线和圆的另一个交点为A，设直线 y = 2x 和圆的另一个交点为B，那么PA就是直径PB所对的一条直角边，PA = 2R cos (角BPA)，R现在已经定了，弦长PA也定了，是8，那就说明角度BPA只有一个数值，从而符合题设要求的直线只有2条。 x = 2和与它关于直径对称的另一条。
另一条很好求，设P点关于x轴对称的另一点为P'，则P'(2,-4)，再设该点关于直线 y = 2x对称的一点坐标是 (x,y)，那么关于直线对称就是说二者中点在直线上，于是：
(y - 4)/2 = 2(x+2)/2 (1)
另外，这点既在圆上，也和点p的距离是8，因此(x,y)还满足：
(x-2)^2 + (y-4)^2 = 64，
展开后利用x^2 + y^2 = 20，化简得到：
x + 2y + 6 = 0
将它联立（1）式就可以解出x = -22/5, y = -4/5，因此另一条直线方程就是(两点式)：
(x - 2)/(y-4) = (x + 22/5) / (y + 4/5)，或者
3x - 4y + 10 = 0.
答案：两条，x = 2和3x - 4y + 10 = 0.

Answer 2

设所求直线的斜率为k，则直线方程为y-4=k(x-2)，化简得：kx-y-2k+4=0
根据垂径定理由垂直得中点，所以圆心到弦的距离即为原点到所求直线的距离d=√[20-(8/20)²]=2
即绝对值(-2k+4)/√(1+k²)=2，解得k=3/4,所以直线方程为3x-4y+10=0
故答案为：3x-4y+10=0