Question

已知 数列{An}满足对任意的n∈N,都有an>0,(a1)^3+(a2)^3…+(an)^3=(a1+a2+…an)^2。...

已知 数列{An}满足对任意的n∈N,都有an>0,(a1)^3+(a2)^3…+(an)^3=(a1+a2+…an)^2。求a1a2的值

Answer 1

a1^3=a1^2
a1^2(a1-1)=0
又an>0 a1>0，因此只有a1-1=0
a1=1
a1^3+a2^3=(a1+a2)^2
(a1+a2)(a1^2-a1a2+a2^2)-(a1+a2)^2=0
(a1+a2)(a1^2-a1a2+a2^2-a1-a2)=0
an>0 a1+a2>0，因此只有a1^2-a1a2+a2^2-a1-a2=0
a1=1代入，整理，得
a2(a2-2)=0
an>0 a2>0 因此只有a2-2=0 a2=2
a1a2=1×2=2

这道题还可以继续扩展，求通项公式等。
假设当n=k (k∈N+)时，ak=k，即
1^3+2^3+...+k^3=(1+2+...+k)^2，则当n=k+1时，
1^3+2^3+...+k^3+a(k+1)^3=[1+2+...+k+a(k+1)]^2
(1+2+...+k)^2+a(k+1)^3=(1+2+...+k)^2+2a(k+1)(1+2+...+k)+a(k+1)^2
a(k+1)^3-a(k+1)^2-a(k+1)[k(k+1)]=0
a(k+1)[a(k+1)^2-a(k+1)-k(k+1)]=0
a(k+1)[a(k+1)+k][a(k+1)-(k+1)]=0
a(k+1)>0 a(k+1)+k>0，因此只有a(k+1)=k+1，同样满足。
综上，得an=n。
现在你可以求任意项的乘积了。