Question

一道求函数值域题

f(x)=(2-x)^(1/2)+1/(x+2)
即根号下2-x加上x+2的倒数~
求值域。

Answer 1

y≠2/5
解法一:求原函数的反函数,再求出反函数的定义域就是原函数的值域
x=y/(2-5y)
所以y≠2/5
解法二:部分分式
y=2/5-2/25*1/(x+1/5)，因为2/25*1/(x+1/5)≠0所以y≠2/5

Answer 2

先算定义域：被开方数2-X>=0且分母X+2不等于0，得X<=2且X不等于-2

对f(x)求导，得
f(x)'=[1/2 * (2-x)^(-1/2)*(-1)]+[-1/(x+2)^2]
两个负数相加〈0
即f(x)'<0
f(x)是减函数
f(x)min=f(2)=1/4
所以值域为：[1/4，正无穷）

Answer 3

由已知可得函数的定义域为{x<>-2切x<=2}
设任意x2<x1<=2,切x1或者x2不等于-2,对于f(x1)-f(x2)=根号(2-x1)-根号(2-x2)+1/(x1+2) -1/(x2+2)<0,所以函数f(x)在定义域{x<>-2切x<=2}为单调递减函数,所以他的最小值为x=2时候,f(x)=1/4,所以f(x)的值域为(1/4,+∞)