Question

求微分方程通解 y''-4y'+4y=2^2x+e^x+1

Answer 1

特征方程为r²-4r+4=0,有一对重根r=2
其对应的齐次方程的通解就是Y=(C1+C2·x)·e^(2x)
C1，C2为任意常数。
令f(x)=2^2x+e^x+1.
令F(D)=4-4D+D²,则原微分方程的一个特解就是y*=[1/F(D)]f(x)
=[1/F(D)](2^2x+e^x+1)
=[1/F(D)]2^2x + [1/F(D)]e^x + 1/(4-4D+D²)
=[1/F(D)]e^((2ln2)x) + [1/F(D)]e^x + (1/4 +(1/4)D +…………)
=[1/F(2ln2)]e^((2ln2)x) + [1/F(1)]e^x + 1/4
=e^((2ln2)x)/(2ln2 -2)² + e^x/(1 -2)² + 1/4
=4^x /(2ln2 -2)² + e^x + 1/4
则原微分方程的通解为
y=Y+y*
=(C1+C2·x)·e^(2x) + 4^x /(2ln2 -2)² + e^x + 1/4