Question

导数在函数问题中的应用问题

f（x）=（x+1）lnx-x+1 求证 （x+1）f（x）>=O

Answer 1

f(x)=(x+1)lnx+(1-x)
g(x)=(x+1)f(x)=(x+1)^2lnx+(1-x^2)
g'(x)=2(x+1)lnx+(x+1)^2/x-2x=[2(x^2+x)lnx+(x+1)^2-2x^2]/x=[2(x^2+x)lnx-x^2+2x+1]/x
当x=1时，g'(1)=0，列表得x=1为极小值点=最小值点
故g(x)≥g(1)=0
即(x+1)f(x)≥0
有不懂欢迎追问

追问

还有一问 求证 （x-1）f（x）≥0

追答

其实和第一问一样：
f(x)=(x+1)lnx+(1-x)
h(x)=(x-1)f(x)=(x^2-1)lnx+(1-x)^2
h'(x)=(2x)lnx+(x^2-1)/x-2(1-x)=(2x)lnx+(3x^2-2x-1)/x
当x=1时，h'(1)=0，列表得x=1为极小值点=最小值点
故h(x)≥h(1)=0
即(x-1)f(x)≥0
有不懂欢迎追问