Question

已知连续函数f(x)=∫(上限是3x,下限是0)f(t/3)dt+e^2x,求f(x)。

Answer 1

两边求导得：f '(x)=f(x)*3+2e^(2x)
将x=0代入原式得：f(0)=1，这是初始条件。
先解微分方程 f '(x)=f(x)*3+2e^(2x)
即 f '(x)-3f(x)=2e^(2x)，一阶线性微分方程，直接套公式
f(x)=e^(∫3dx)[∫ 2e^(2x)*e^(-∫3dx)dx+C]
=e^(3x)[∫ 2e^(2x)*e^(-3x)dx+C]
=e^(3x)[∫ 2e^(-x)dx+C]
=e^(3x)[-2e^(-x)+C]
=-2e^(2x)+Ce^(3x)

然后将x=0，f(0)=1代入得：C=3
f(x)=-2e^(2x)+3e^(3x)

追问

令∫(上限是3x,下限是0)f(t/3)dt=3∫(上限是x下限是0)f(x)dx=3a求出的结果为什么不一样，感觉做法没问题，求解

追答

一样的啊
变量代换，令t/3=u，u：0-->x，dt=3du
f(x)=∫(上限是3x,下限是0)f(t/3)dt+e^2x
=3∫(上限是x,下限是0)f(u)du+e^2x
f '(x)=3f(x)+2e^(2x)
与我前面的做法结果一样。

注意：不能设为3a，这是变上限积分，不是定积分，结果不是常数。