Question

一道数学难题，求高手解答。

求证：一种赌博游戏，直接猜，猜中的几率几乎为零，但如果每次猜之前，添加1次金币，猜中概率为25-28%，添加2次金币，猜中的概率翻倍，每次允许添加金币的次数不限，求用什么方式猜，能花最少的金币最大次数猜中。（猜的样本可以无限大）
每次添加1个金币猜4次与每次添加4个金币猜1次的方式，哪种方式 猜中的次数更大？
希望有数学高手推理论证。
哦，论述的有点歧义，添加一次猜中的概率 25% 是个基数，2次50%，3次就是75% 。

比较的方式：
比如有100个金币，求证用什么方式猜，消耗100金币，猜中次数最多。
就是说金币样本可以无限大，求证 消耗同等金币的情况下，用什么方式，猜中的次数最多。

Answer 1

没太看懂楼主的问题。添加一次金币，猜中概率就是25%-28%，就按25%算吧。添加2次概率翻一倍，就是50%，那么添加3次再翻一番，就是100%，那岂不是必然猜中了？为何还问添加4次的情况？楼主看看是不是题目数据有问题。

还有添加一个金币以后概率是p，那么4次中的猜中次数是一个二项分布，可以求出平均猜中次数就是4p；添加4个金币只猜一次，概率增大，但是最多只能猜中一次，那怎么和猜4次那个去比猜中次数？楼主应该给出猜中了以后有什么奖励，然后算扣除损失（添加的金币）以后平均能得到多少奖励，这个问题才有办法解释。

追问

哦，论述的有点歧义，添加一次猜中的概率 25% 是个基数，2次50%，3次就是75% 。

比较的方式：
比如有100个金币，求证用什么方式猜，消耗100金币，猜中次数最多。
就是说金币样本可以无限大，求证 消耗同等金币的情况下，用什么方式，猜中的次数最多。

追答

我明白楼主的问题了。是不是说不加金币就不可能猜中，如果加4金币就完全可以猜中，我有100个金币，都要消耗完，比如一次加1个金币，虽然每次猜中只有25%概率，但是可以猜100次才用完；如果每次加2个，就有50%概率了，但是只能猜50次就用完了……加4个只能猜25次，但是每次必然猜中。问综合考虑什么金币添加方案可以尽可能让猜中次数变多？
如果我的理解没错的话，答案应该是无所谓，只要用完这100金币，所有添加方案都一样，平均猜中25次，只不过有的方案风险性大，比如每次只加1个，有可能100次都猜中，也有可能100次都没猜中。下面数学论证一下，要用到一些概率论基本概念。
假设猜n次，第i次添加金币a[i]（是1、2、3、4）中的一个，而且a[1]+a[2]+a[3]+…+a[n]=100，因为一共100个金币。第i次猜中的概率是a[i]×25%（意思是加了几个金币概率就是25%乘以几，这应该是楼主的意思）。设第i次猜中了X[i]次，那么X[i]叫做随机变量，只有可能猜中1次或者0次，X[i]=1的概率是a[i]×25%，等于0的概率是1-a[i]×25%，所以X[i]的平均值（叫数学期望）是
E(X[i])=1×a[i]×25%+0×(1-a[i]×25%)=a[i]×25%。第i次平均猜中a[i]×25%次，我们关心的是总次数，就是X[1]+X[2]+…+X[n]的平均值，还是刚才说的数学期望。有公式
E(X[1]+X[2]+…+X[n])=E(X[1])+E(X[2])+…+E(X[n])=a[1]×25%+a[2]×25%+…+a[n]×25%
=25%×(a[1]+a[2]+a[3]+…+a[n])=25%×100=25
所以不管你怎么分配每次的a[i]（投入金币数）以及n（猜的次数），平均猜中次数都是25次。