Question

已知递推公式求通项公式

RT:已知递推公式求通项公式，如果已经知道了递推公式如何求通项公式，不要网站，在线等，文字说明最好多点，多加分!!!

Answer 1

（1）
特殊二次型:a[n+1]a[n]+pa[n+1]+qa[n]+r=0

这种类型的特征方程为:x²+(p+q)x+r=0

从而px+r=-x(q+x)

所以(px+r)/(q+x)=-x

将二次型写成递推式形式:

a[n+1]=-(qa[n]+r)/(a[n]+p)

（2）
倒数型:a[n+1]=a[n]/(qa[n]+p)

这种形式有个很明显的特点,做倒代换b[n]=1/a[n]可以转换为前面的标准形式:b[n+1]=pb[n]+q

特征方程x=px+q,

(1)当p≠1时,特征值x=q/(1-p)

b[n+1]-x=pb[n]+q-x=p(b[n]-x)+px+q-x=p(b[n]-x)

所以b[n]-x=(b[1]-x)p^(n-1)

b[n]=(b[1]-x)p^(n-1)+x

(2)当p=1时,此时即为等差数列,b[n]=b[1]+(n-1)q

（3）
常系数型:a[n+2]=p*a[n+1]+q*a[n]

此类递推式常和高次方程联系在一起,由于最高阶a[n+2]比最低阶a[n]高2,所以此类也叫2阶递推式,其对应的特征方程是x²=px+q,也就是:x²-px-q=0

作换元p=x1+x2,q=-x1x2

不难看出x1,x2是方程x²-px-q=0的两个根

则a[n+2]=(x1+x2)a[n+1]-x1x2*a[n]

a[n+2]-x1*a[n+1]=x2*(a[n+1]-x1*a[n])

由此可以看出来{a[n+1]-x1*a[n]}是一个以x2为公比的等比数列

从而a[n+1]-x1*a[n]=(a[2]-x1*a[1])*x2^(n-1)

Answer 2

有递推公式就可以推出来通项公式，方法有很多种，不过你最好还是能上传个例子，以实践总结理论了。

Answer 3

啊