Question

一道高中立体几何题（跟别人的稍微有点不一样），快吐了。。高手来拿分！对了加分！

右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝120°，AA1＝4，BB1＝2，CC1=3．
1。求证：平面ABC1垂直于AA1C1C
2。求直线AC与平面ABC1所成的角的余弦值。
关键是第一小题怎么做。。。
注：我们文科生没有学过空间几何。不能建系，希望用点普通方法证明下，谢谢

Answer 1

作BD垂直于AA1
因为AA1=4,BB1=2,A1B1=2
所以AD=BD=2,AB=2根号2
又因为BB1=B1C1=2
所以BC1=2根号2
因为AB=BC1,又作取AC1中点
所以BE垂直于AC1
又取A1C1中点F
EF平行且等于1/2AA1=BB1=2
又因为BB1平行于EF
所以BB1EF为平行四边形
又因为B1F垂直于A1C1
所以BE垂直于A1C1
因为AC1交A1C1=C1
所以BE垂直于平面AA1CC1
又因为BE属于平面ABC1
所以平面ABC1垂直于AA1C1C

Answer 2

以B点为基准 想象一个平行于底面的平面将这个图形截开（这个新添加的平面与AA1交与A2 CC1交与C2） 那么下面就是一个规则的三棱柱 过点B做垂线交与A2B2 也就是A2B2的中点 也就是AC1的中点 也就是说要证明所做垂线垂直于A2B2 和AC1 就行了。 前者为我们所做的高 。 后者在图形下半部新形成的三角形里可以证明出（我没有算 不过既然是证明应该是能成立的。） 然后由平面ABC1上的一条边垂直于平面AA1CC1上的两条相交直线便能证明出第一题。

表示对于立体几何难于用书面表达详尽， 动手画画吧 会有豁然开朗的感觉。

Answer 3

连接AC1，取AC1中点D，连接BD，取AC1中点E，连接B1E,DE，
因为D是AC1中点，E是A1C1中点，所以DE平行且等于1/2AA1，BB1平行且等于1/2AA1，所以DE平行且等于BB1，所以DEBB1为平行四边形。所以BD平行BB1又因为B1E为等腰三角形底边的高。所以B1E垂直A1C1且垂直与AA1，所以BD垂直于平面ACA1C1。因为BD属于平面AC1B，所以平面ABC1垂直于AA1C1C。

Answer 4

建系吧骚年
这样口以直接秒完三题。。。

追问

我们没有学过建系啊。。。。。希望来点普通方法，谢谢

Answer 5

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