Question

已知x≥0,y≥0,且x+y=1,求y/(1+x)+x/(1+y)最小值

Answer 1

y/(1+x)+x/(1+y)
=(y^2+y+x^2+x)/(1+x)(1+y)
=((x+y)^2+1-2xy)/(1+xy+x+y)
=(2-2xy)/(2+xy)
=1-3xy/(2+xy)
=1-3/(2/xy+1)
x+y=1
x>0,y>=0
x+y>=2√xy
xy<=1/4
2/xy+1>=9

y/(1+x)+x/(1+y)>=1-3/9=2/3
最小值2/3

Answer 2

上式可以划件为(2-2XY)/(2+XY)=6/2+XY -2
这样就变成求XY的最大植了
X=Y=0.5
=0.4

Answer 3

另
x=1-y,代入,得y/2-y+(1-y)/(1+y),

Answer 4

最小值是2/3 此时x=y=1/2
令x=(cost)^2 y=(sint)^2 t属于（0，pi/2)
代入用(cost)^2=(cos2t+1)/2 和(sint)^2=(1-cos2t)/2化简通分得
-2+24/(9-(cos2t)^2)当cos2t=0时取最小值2/3
此时2t=pi/2 t=pi/4 x=1/2
证毕