Question

一次函数y=-2x的图像与2次函数y=-x2+3x图像的对称轴交于点b。

写出B点坐标---已知点P是二次函数y=-x2+3x图像在y轴右侧部分上的动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴。y轴于C，D两点。若以CD为直角边的三角形PCD与三角形OCD相似，则点P的坐标

Answer 1

1、二次函数y=-x^2+3x=-(x^2-3x+9/4)+9/4=-(x-3/2)+9/4,
其顶点坐标为（3/2，9/4），
对称轴方程为：x=3/2,
代入y=-2x,
y=-3,
∴一次函数y=-2x与y=-x^2+3x对称轴交点坐标为B（3/2，-3）。
2、∵CD//直线y=-2x,
∴设平移后直线为y=-2x+b,(1)
b为直线CD在Y轴上的截距，
∵〈POC=90°，
要使△DOC∽△OCP，
∴〈PCD=90°，
OD/CD=CC/CP，(2)
D坐标为（0，b),
根据（1）式，当y=0时，x=b/2,
则C点坐标为（b/2,0),
OC=b/2,OD=b,
根据勾股定理，
DC=√5 b/2,
作PE⊥X轴，E为垂足，
代入（2）式，
CP=√5b/4,
sin<ODC=OC/DC=(b/2)/(√5b/2)=√5/5，
cos<ODC=b/(√5b/2)=2√5/5，
〈PCE=〈ODC，（可作PF⊥Y轴即可证明）
Py=CP*sin<ODC=(√5b/4)*√5/5=b/4,
OC=Px=b/2+CP*cos<ODC=b,
根据二次函数表达式，y=-x^2+3x,
b/4=-b^2+3b,
∵b≠0，
∴b=11/4,
Py=b/4=11/16，
OC=b=11/4,
∴P坐标为（11/4,11/16).

Answer 2

解：（1）∵抛物线y=-x2+3x的对称轴为直线x=32，
∴当x=32时，y=-2x=-3，
即B点坐标为（32，-3）；

（2）设D（0，2a），则直线CD解析式为y=-2x+2a，可知C（a，0），即OC：OD=1：2，
则OD=2a，OC=a，根据勾股定理可得：CD=5a，
以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，
①当∠CDP=90°时，若PD：DC=OC：OD=1：2，则PD=52a，设P的横坐标是x，则P点纵坐标是-x2+3x，
根据题意得：x 2+ (-x 2+3x-2a ) 2=(
5a2) 2(
5a) 2+(
5a2) 2=(-x 2+3x)+(x-2) 2​，
解得：x=
12a=
12​，
则P的坐标是：（12，54）；
若DC：PD=OC：OD=1：2，同理可以求得P（2，2），
②当∠DCP=90°时，若PC：DC=OC：OD=1：2，则P（114，1116），
若PD：DC=OC：OD=1：2，则P（135，2625），
综上可知：若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为：（12，54）、（2，2）、(
114 ，
1116)、(
135 ，
2625)。

Answer 3

用同来的方法还能求出另两组解。