Question

数学: 求f(x)=x^2×e^ax的导数 其中a<0 e为自然对数的底数

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Answer 1

已知函数f（x）=x 2 e ax ，其中a≥0，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-1，0]上的最大值．
（Ⅰ）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），讨论a，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．
（Ⅱ）欲求函数f（x）在区间[-1，0]上的最大值，先求f（x）在区间[-1，0]上的单调性，讨论a的值，分别求出最大值．
解答： 解：（Ⅰ）∵f'（x）=x（ax+2）e ax ．
（i）当a=0时，令f'（x）=0，得x=0．
若x＞0，则f'（x）＞0，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增；
若x＜0，则f'（x）＜0，从而f（x）在（-∞，0）上单调递减．
（ii）当a＞0时，令 f′（x）=0，得x（ax+2）=0，故x=0或x=-$\frac{2}{a}$．
若x＞0，则f'（x）＞0，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增；
若-$\frac{2}{a}$＜x＜0，则f′（x）＜0，从而f（x）在（-$\frac{2}{a}$，0））上单调递减；
若 x＜-$\frac{2}{a}$，则f′（x）＞0，从而f（x）在（-∞，-$\frac{2}{a}$）上单调递增．
（Ⅱ）（i）当a=0时，f（x）在区间[-1，0]上的最大值是f（-1）=1．
（ii）当-$\frac{2}{a}$＜-1⇒0＜a＜2时，f（x）在区间[-1，0]上递减，最大值是f（-1）=e -a ．
（iii）当-$\frac{2}{a}$≥-1⇒a≥2时，f（x）在区间[-1，0]上先增后减，最大值是 f（-$\frac{2}{a}$）=$\frac{4}{{a}^{2}•{e}^{2}}$

Answer 2

由于f(x)=x^2×e^ax, 由乘积导数公式可得
f'(x)=2xe^(ax)+x^2e^(ax)*a
=(2x+ax^2)e^(ax).

Answer 3

解：f(x)=2xe^ax+ax^2e^ax
=(2x+ax^2)e^ax