Question

已知,α,β(α>β)是一元二次方程x^2-x-1=0的两个实数根,设S1=α+β,S2=α^2+β^2，……Sn=α^n+β^n.根据

根的定义，有α^2-α-1=0，β^2-β-1=0，将两式相加，得（α^2+β^2）-（α+β）-2=0于是得S2-S1-2=0，猜想，当n≥3时，Sn，Sn-1，Sn-2之间满足的数量关系，并证明
根据上面的猜想，求(（1+根号5）/2)^8+(（1-根号5）/2)8的值

Answer 1

由于Sn=α^n+β^n=α(α^(n-1)+β^(n-1))-αβ^(n-1)+β^n
=α(α^(n-1)+β^(n-1))-αβ(β^(n-2)+α^(n-2))+αβα^(n-2)+β^n
=α(α^(n-1)+β^(n-1))-αβ(β^(n-2)+α^(n-2))+β(α^(n-1)+β^(n-1))
=(α+β)S(n-1)-αβS(n-2).
(（1+根号5）/2)与(（1-根号5）/2）是方程x^2-x-1=0的两个根，
所以上式中α+β=1，αβ=-1， 所以Sn=S(n-1)+S(n-2).
而S1=1，S2=3， 因此S3=4,S4=7, S5=11, S6=18,S7=29, S8=47.
所以(（1+根号5）/2)^8+(（1-根号5）/2)8=47.

Answer 2

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