Question

已知,α,β(α>β)是一元二次方程x^2-x-1=0的两个实数根,设S1=α+β,S2=α^2+β^2，……Sn=α^n+β^n.根据

根的定义，有α^2-α-1=0，β^2-β-1=0，将两式相加，得（α^2+β^2）-（α+β）-2=0于是得S2-S1-2=0，猜想，当n≥3时，Sn，Sn-1，Sn-2之间满足的数量关系，并证明
根据上面的猜想，求(（1+根号5）/2)^8+(（1-根号5）/2)8的值

Answer 1

解：Sn=S(n-1)+S(n-2)
证明，α+β=1 αβ=-1
S(n-1)=α^(n-1)+β^(n-1) S(n-2)=α^(n-2)+β^(n-2)
S(n-1)+S(n-2)=(α+β)α^(n-1)+β^(n-1)-αβα^(n-2)+β^(n-2)
=α^n+β^n+αβ^(n-1)+βα^(n-1)-αβ^(n-1)+βα^(n-1)
=α^n+β^n
=Sn
(（1+根号5）/2)^8+(（1-根号5）/2)8=S8=21S1+26=21+26=47