Question

如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点Q是CD上任意一点,DP⊥AQ交BC于点P

如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点Q是CD上任意一点,DP⊥AQ交BC于点P 2010-11-20 10:51

求证 DQ=CP OP⊥OQ

Answer 1

1。证明：∵DP⊥AQ，∴∠CDP+∠AQD=90°。
∵BC⊥CD，∴∠CDP+∠CPD=90°。∴∠AQD=∠CPD
在△AQD和△CPD中，∠ADQ=∠DCP，∠AQD=∠CPD，AD=CD
∴△AQD≌△CPD。DQ=CP
2。证明：
∵OC=OD，∠OCP=∠ODQ=45°，(正方形性质)
CP=DQ。(已证)
∴△OCP≌△ODQ。
∴∠COP=∠DOQ
又∵∠DOC=90°，即∠DOQ+∠QOC=90°，
∴∠QOC+∠COP=90°，即∠QOP=90°
即OP⊥OQ.
(图就你自己画了)

Answer 2

ADQ和DCP全等.由边角边而得。

Answer 3

证明：设DP垂直AQ于F，因为ABCD是正方形
所以AD=DC 角ADQ=角DCP=90度
所以角DPC+角PDC=90度
因为DP垂直AQ于F
所以角DFQ=90度
所以角PDQ+角DQF=90度
所以角DQF=角DPC
因为角ADQ=角DCP
AD=DC
所以直角三角形ADQ和直角三角形DCP全等
所以DQ=CP
因为四边形ABCD是正方形
所以OD=OC OB=OC 角ODQ=角OCP=45度 DC=DQ+QC=BC=CP+BP
所以CQ=BP
在三角形ODQ和三角形OCP中
DQ=CP
因为角ODQ=角OCP
OD=OC
所以三角形ODQ和三角形OCP全等
所以角DOQ=角COP
OQ=OP
因为CQ=BP
OC=OB
所以三角形OCQ和三角形OBP全等
所以角COQ=角BOP
因为角BOP+角COP+角COQ+角DOQ=180度
所以角COP+角COQ=90度
所以角POQ=角COP+角COQ=90度
所以OP垂直OQ

Answer 4

E