Question

有一道高二文科数学题不会,请大家详细解释一下,谢谢!

△ABC三条高分别为ha.hb.hc, r为内切圆半径,且ha+hb+hc=9r求证: 该三角形为等边三角形

Answer 1

证明：
r=2S/(a+b+c)
所以ha+hb+hc=9r=18S/(a+b+c)
所以(a+b+c)（ha+hb+hc）=18S
又由柯西不等式得(a+b+c)（ha+hb+hc）≥（√aha+√bhb+√chc)²=18S
所以柯西不等式取到等号
所以a/ha=b/hb=c/hc
又a/ha=a/(2S/a)=a²/(2S),同理：b/hb=b²/(2S),c/hc=c²/(2S)
所以a=b=c
所以该三角形为等边三角形

追问

对不起，我没学过柯西不等式。

追答

好吧
换一种方法
首先证ahb+bha≥aha+bhb
证明：ahb+bha≥aha+bhb等价于（a-b)(hb-ha)≥0,显然成立,且在a=b时取等号
同理ahc+cha≥aha+chc,chb+bhc≥chc+bhb，且分别在a=c,b=c时取等号
r=2S/(a+b+c)
所以ha+hb+hc=9r=18S/(a+b+c)
所以(a+b+c)（ha+hb+hc）=18S
(a+b+c)（ha+hb+hc）=(aha+bhb+chc)+(ahb+bha)+(ahc+cha)+(chb+bhc)≥3(aha+bhb+chc)=18S
所以上述不等式都取等号
所以a=b=c
所以该三角形为等边三角形
这个能看懂吗？

Answer 2

设s为三角形面积、则：
ha=2s/a
∴s=1/2*（a+b+c）*r
∴ ha=2s/a=2*1/2*（a+b+c）*r/a=（a+b+c）*r/a=r*（1+b/a+c/a）
同理、hb=r*（1+a/b+c/b），
hc=r*（1+a/c+b/c），
∴ha+hb+hc=r*（1+b/a+c/a）+r*（1+a/b+c/b）
+r*（1+a/c+b/c）=r（3+b/a+c/a+a/b+c/b+a/c+b/c）
∵ha+hb+hc=9r
∴3+b/a+c/a+a/b+c/b+a/c+b/c=9
∴b/a+c/a+a/b+c/b+a/c+b/c=6
∵b/a+a/b≥2 （当且仅当a=b取“=”号）
c/a+a/c≥2 （当且仅当a=c取“=”号）
c/b+b/c≥2 （当且仅当c=b取“=”号）
∴b/a+c/a+a/b+c/b+a/c+b/c≥6
∵b/a+c/a+a/b+c/b+a/c+b/＝6
∴ a=b=c
三角形的形状是等边三角形