Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率e=根号3/2,点A(a,0),B(0,b)之间的距离为根号5

（1）求椭圆C的标准方程
(2)若椭圆C的左右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上任意一点，点D（根号3/2,1.2)，求|PF1|+|PD|的最大值和最小值
（3）设过点E（0，4）的直线了与椭圆C顺次相交于点M，N，O为坐标原点，若△MON为直角三角形，求直线l的斜率

Answer 1

c/a=根号3/2,a^2+b^2=5
a=2,b=1
(1)椭圆C的标准方程x^2/4+y^2=1
(2)|PF1|+|PD|的最大值4根号3/3+根号3/2=11根3/6
最小值4根号3/3-根号3/2=5根3/6
(3)设直线的方程为y=kx+4
联立y=kx+4与x^2/4+y^2=1得
（4k^2+1)x^2+32kx+60=0
x1x2=60/（4k^2+1),x1+x2=-32k/（4k^2+1)
△MON为直角三角形,角MON为直角
OM垂直于ON
x1x2+y1y2=0
x1x2+(kx1+4)(kx2+4)=0
(k^2+1)x1x2+4k(x1+x2)+16=0
将x1x2=60/（4k^2+1),x1+x2=-32k/（4k^2+1)代入上式化简得
k^2=19
k=+-根19