Question

已知y1=3，y2=3+x^2，y3=3+x^2+e^x都是微分方程(x^2-2x)y''-(x^2-2)y'+(2x-2)y=6x-6的解，求通解。

Answer 1

y2-y1,即x^2为齐次微分方程(x^2-2x)y''-(x^2-2)y'+(2x-2)y=0的解
y3-y1,即x^2+e^x为齐次微分方程(x^2-2x)y''-(x^2-2)y'+(2x-2)y=0的解
那么，齐次微分方程的解就是c1*(x^2)+c2*(x^2+e^x)=c3*(x^2)+c2*(e^x),其中c3=c1+c2
继而，非齐次微分方程的解就是“齐次方程的通解＋非齐次的特解”，所以原方程的解为
c3*(x^2)+c2*(e^x)＋3，c2,c3为任意常数

Answer 2

y=3+C1*x^2+C2*e^x(C1,C2为任意常数)