Question

在RT三角形ABC中,AC=BC,角ACB=90°,D是斜边AB上任意一点，AE垂直CD于E，BF垂直CD交CD的延长线于F,CH垂直AB

在RT三角形ABC中,AC=BC,角ACB=90°,D是斜边AB上任意一点，AE垂直CD于E，BF垂直CD交CD的延长线于F,CH垂直AB于H,交AE于G，求证BD=CG

Answer 1

证明：
因为AC=BC ∠ACB=90°
∴∠CAB=∠CBA=45°
又CH⊥AB
∴∠BCH=∠CAB=45°
AE⊥CE
∴∠DCH=∠DAE(同为∠ADE余角)
∴45°-∠DAE=45°-∠DCH
∠CAE=∠BCD
∠CBD=∠ACG=45°
BC=AC
∴△BCD≅△CAG
∴BD=CG
本题用四点共圆更简捷。BF⊥CD好像不必要吧？

Answer 2

∵CH⊥AB，AE⊥CF　
∴∠AHC＝∠AED＝90°　
∵∠EAD公用　　
∴∠AGH＝∠ADE
∵∠AGH＝∠CGE　　　∠BDF＝∠ADE　　　（对顶角相等）
∴∠CGE＝∠BDF
∵CD⊥AE　　BF⊥CF
∴△CGE∽△BDF　　　（角，角，角对应相等，两三角形相似）
∵∠ECG＝∠DBF
∴∠ECA＝∠ECG＋45°＝∠DBF＋45°＝∠CBF
∵∠EAD＝∠DCG
∴∠CAE＝45°－∠EAD＝45°－∠DCG＝∠BCF
∵AC＝BC
∴△AEC≌△CFB　　　（两角夹一边相等，两三角形全等）
∵CE＝BF　　　　　　　
∴△CGE≌△BDF　（对应边相等的相似三角形是全等三角形）
即：BD＝CG
证毕。