Question

在△ABC中,已知向量AB的模=3,向量BC的模=4,向量CA的模=5,

求（向量AB点乘向量BC）+（向量BC点乘向量CA）+（向量CA点乘向量AB）

Answer 1

2(AB•BC+BC•CA+CA•AB)
=AB•BC+BC•CA+CA•AB+AB•BC+BC•CA+CA•AB
=AB•(BC+CA)+BC•(CA+AB)+ CA•(AB+BC)
=AB•BA+BC•CB+CA•AC
=-|AB|²-|BC|²-|CA|²
AB•BC+BC•CA+CA•AB = -(|AB|²+|BC|²+|CA|²)/2
= -(3²+4²+5²)/2 = -25
应用向量和点乘的定义进行运算，不论三边长取什么值，这种方法都是适用的

Answer 2

|AB| = 3，|BC| = 4，|CA| = 5
由余弦定理：cos∠A = 3/5，cos∠B = 0，cos∠C = 4/5
(AB • BC) + (BC • CA) + (CA • AB)
= |AB||BC|cos∠B + |BC||CA|cos∠C + |CA||AB|cos∠A
= (3)(4)(0) + (4)(5)(4/5) + (5)(3)(3/5)
= 25

追问

也谢谢你

Answer 3

2(AB•BC+BC•CA+CA•AB)
=AB•BC+BC•CA+CA•AB+AB•BC+BC•CA+CA•AB
=AB•(BC+CA)+BC•(CA+AB)+
CA•(AB+BC)
=AB•BA+BC•CB+CA•AC
=-|AB|²-|BC|²-|CA|²
AB•BC+BC•CA+CA•AB
=
-(|AB|²+|BC|²+|CA|²)/2
=
-(3²+4²+5²)/2
=
-25
应用向量和点乘的定义进行运算，不论三边长取什么值，这种方法都是适用的