Question

在三角形abc中，已知向量m=（2sinb，2-cos2b）,n(2sin^2(π/4+b/2),-1),m垂直于n， （1）求角b的大小，（2

一、在三角形abc中，已知向量m=（2sinb，2-cos2b）,n(2sin^2(π/4+b/2),-1),m垂直于n，
（1）求角b的大小，（2）若a=根号3，b=1，求角c的值
二、在三角形abc中，ABC所对的边分别为abc，向量m=（cosA，1）n=（1,1-根号3sinA）且m垂直于n， 求若b+c=根号3a，求角b，角c的大小

Answer 1

一、（1）、2sin^2(π/4+b/2)=1-cos(π/2+b)=1+sinb,m垂直于n,有2sinb+(sinb)^2+cos2b-2=0,即
-（sinb-1)^2=0,又0<b<π，所以b=π/2
(2)、由于b为直角，而a>b，显然题目有问题
二、m垂直于n，所以有：cosA+1-根号3sinA=0,所以A=π/3 或 2π/3 ，又b+c=根号3a，也即是sinB+sinC=3/2，显然A只能为π/3，所以B+C=2π/3，故求得B=π/2,C=π/6或C=π/2,B=π/6

Answer 2

（1）求角b的大小:m垂直于n,
m.n=0=2sinb*2sin^2(π/4+b/2)+(2-cos2b)*(-1)
=2sinb[1-cos(π/2+b)]+cos2b-2
=2sinb(1+sinb)+(1-2sin^2b)-2
=2sinb+2sin^b-2sin^2b-1
=2sinb-1=0
sinb=1/2,角b=π/6
（2）求角c的值:a=√3，b=1
cosb=√3/2,b^2=a^2+c^2-2ac*cosb=3+c^2-2√3c*√3/2=c^2-3c+3=1
c^2-3c+2=0,c=1 or c=2
c=1:b=1,角c=角b=π/6
c=2:sinc/c=sinb/b,sinc=csinb/b=2*1/2=1,角c=π/2

向量m=（cosA，1）n=（1,1-根号3sinA）且m垂直于n
m.n=0=cosA*1+1*(1-√3sinA)=cosA-√3sinA+1=2(cosA*1/2-sinA*√3/2)+1=1-2sin(A-π/6)
sin(A-π/6)=1/2,A-π/6=π/6,or A-π/6=5π/6 A=π/3 or A=π(舍去）
b/sinB=a/sinA,b=asinB/sinA,c=asinC/sinA,b+c=a(sinB+sinC)/sinA=√3*a
sinB+sinC=√3sinA=3/2,sinB=3/2-sinC
根据余弦定理可得：a^2=b2+c^2-2bc*cosA=a^2(sin^2B+sin^2C-2sinBsinC*1/2)/sin^2A
sin^2B+sin^2C-sinBsinC=sin^2A=3/4=9/4-3sinC+sin^2C+sin^2C-3sinC/2+sin^2C
3sin^2C-9sinC/2+6/4=0,sin^2C-3sinC/2+1/2=0,(sinC-3/4)^2=9/16-1/2=1/16=(1/4)^2
sinC=3/4+1/4=1 or sinC=3/4-1/4=1/2 ，C=π/2 or C=π/6
sinB= 1/2 or sinB=1,B=π/6 or B=π/2

Answer 3

（1）直接根据倍角公式就可以了
（2）正弦定理