Question

数列{an}满足,a1=1,4an+1-anan+1+2an=9(n是正整数)求其通项公式

Answer 1

解：∵数列{a[n]}满足4a[n+1]-a[n]a[n+1]+2a[n]=9
∴(4-a[n])a[n+1]=9-2a[n]
即：a[n+1]=(2a[n]-9)/(a[n]-4)
∵a[1]=1
∴a[2]=7/3，a[3]=13/5，a[4]=19/7，...
∵分子是首项为1，公差为6的等差数列
∴猜想分子是：1+6(n-1)=6n-5
∵分母是首项为1，公差为2的等差数列
∴猜想分母是：1+2(n-1)=2n-1

∴猜想{a[n]}的通项公式是：a[n]=(6n-5)/(2n-1)

下面用数学归纳法来证明上述猜想公式成立：
当n=1时，左边=a[1]=1，右边=(6*1-5)/(2*1-1)=1，此时公式成立

设n=k时公式成立，即：a[k]=(6k-5)/(2k-1)

∵a[n+1]=(2a[n]-9)/(a[n]-4)
∴当n=k+1时，a[k+1]=(2a[k]-9)/(a[k]-4)
=[2(6k-5)/(2k-1)-9]/[(6k-5)/(2k-1)-4]
=[(-6k-1)/(2k-1)]/[(-2k-1)/(2k-1)]
=(6k+1)/(2k+1)
=[6(k+1)-5]/[2(k+1)-1]，公式也成立

∴{a[n]}的通项公式：a[n]=(6n-5)/(2n-1)的猜想是正确的

再用不动点法给予验证：
∵a[n+1]=(2a[n]-9)/(a[n]-4)
令：x=(2x-9)/(x-4)
x^2-4x=2x-9
即：(x-3)^2=0
解得不动点：x=3
∴a[n+1]-3=(2a[n]-9/(a[n]-4)-3=(-a[n]+3)/(a[n]-4)
取倒数：1/(a[n+1]-3)=(4-a[n])/(a[n]-3)=1/(a[n]-3)-1
即：1/(a[n+1]-3)-1/(a[n]-3)=-1
∵a[1]=1
∴{1/(a[n]-3)}是首项为1/(a[1]-3)=-1/2,公差为-1的等差数列
即：1/(a[n]-3)=-1/2-(n-1)=(1-2n)/2
∴a[n]=2/(1-2n)+3=(5-6n)/(1-2n)=(6n-5)/(2n-1)

验证结果：猜想、数学归纳法、不动点法所得的{a[n]}通项公式完全一致
a[n]=(6n-5)/(2n-1)

Answer 2

由4a(n+1)-an*a(n+1)+2an=9，得
a(n+1)=(2an-9)/(an-4)，把2an-9拆为(2an-8)-1，进一步化简，得
a(n+1)=2-1/(an-4).为使a(n+1)和an旁边系数相同，两边同时减4，得
a(n+1)-4=-2-1/(an-4).此时可设数列bn=an-4.则b1=a1-4=-3，前式化为
b(n+1)=-2-1/bn.两边同时加m，得
b(n+1)+m=m-2-1/bn=[(m-2)bn-1]/bn.两边同时取倒数，得
1/[b(n+1)+m]=bn/[(m-2)bn-1].变换式子右边，得
右边=bn/[(m-2)bn-1]
=[bn-1/(m-2)+1/(m-2)]/[(m-2)bn-1]
=1/(m-2)+[1/(m-2)]/[(m-2)bn-1]
=1/(m-2)+[1/(m-2)²]/[bn-1/(m-2)]，即
1/[b(n+1)+m]=1/(m-2)+[1/(m-2)²]/[bn-1/(m-2)]，为使b(n+1)和bn旁边的常数相等，故令
m=-1/(m-2).整理，得
(m-1)²=0，解之，得m=1
代入上式，得
1/[b(n+1)+1]=-1+1/(bn+1).此时可设数列cn=1/(bn+1).将bn=an-4代入，得
cn=1/(bn+1)=1/(an-3)，c1=1/(a1-3)=-1/2.前式变为
c(n+1)=-1+cn.则，cn是以-1/2为首项，-1为公差的等差数列.易得，
cn=1/2-n.又cn=1/(an-3)，故
an=1/cn+3=1/(1/2-n)+3，整理，得
an=2/(1-2n)+3=(5-6n)/(1-2n)

最后这俩式子写哪个都行，不过数学角度来讲2/(1-2n)+3才算化简完全.
解题思路就是不断换元，怎么简单怎么换。然后再整理，构造。努力降次。实在不行就加常数再取倒数，就OK咯~
难得的好题~楼主也加油哈~