Question

如图所示圆O1和圆O2外切于点A，直线BD切圆O1于点B，交圆O2于点C、D，直线DA交圆O1于点E。求证：（1）∠BAC

（1）∠BAC=∠ABC+∠D；
（2）AB²=AC×AE.

Answer 1

证明：
过A点，作两圆的公切线AF，交BC于F
∵BD是圆O1的切线
∴FB=FA【从圆外引圆的两条切线长相等】
∴∠ABC=∠BAF
∵∠CAF=∠D【弦切角等于夹弧所对的圆周角】
∴∠BAC=∠BAF+∠CAF=∠ABC+∠D
（2）
连接BE
∵∠BAE=∠ABC+∠D【外角等于不相邻两个内角和】
∴∠BAE=∠BAC
又∵∠CBA=∠BEA【弦切角等于夹弧所对的圆周角】
∴⊿BAC∽⊿EAB（AA’）
∴AB/AE=AC/AB
转化为AB²=AC×AE

Answer 2

（1）连接BE，过A点做两圆切线AF，交BC于F，根据切线的某个定律可得：∠FAC=∠D,∠FAB=∠E=∠ABC,则∠ABC+∠D=∠FAC+∠FAB=∠BAC
（2）因为∠CBA=∠E且∠BAC=∠ABC+∠D=∠EAB,所以△CBA相似于△BEA，所以BA/AC=EA/AB,所以AB²=AC*AE