Question

如图15，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，

抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）.
⑴求c、b（用含t的代数式表示）；
⑵当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N.
①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；
②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S= ；
③在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围.

Answer 1

解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，
再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，
∵t＞0，
∴b=-t；

（2）①不变．
∵抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1，
∴当x=1时，y=1-t，
∴M（1，1-t），
∴AM=|1-t|=t-1，
∵OP=t，
∴AP=t-1，
∴AM=AP，
∵∠PAM=90°，
∴∠AMP=45°；
②S=S四边形AMNP-S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM-S△PAM
=1/2（t-4)（4t-16)+1/2 [（4t-16）+（t-1）]×3-1/2（t-1)(t-1）=3/2 t^2-2/15t+6．
解
3/2 t^2-2/15t+6=21/8
得：t1=1/2 ，t2=9/2 ，

∵4＜t＜5，
∴t1=1/2舍去，∴t=2/9．

（3）

7/2＜t＜ 11/3
．

①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；
②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：
则有-4＜y2＜-3，-2＜y3＜-1即-4＜4-2t＜-3，-2＜9-3t＜-1，

解得2/7＜t＜4且10/3＜t＜11/3
；解得7/2＜t＜ 11/3

③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解；
④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解；
⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解；综上所述，t的取值范围是：7/2＜t＜ 11/3

Answer 2

解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，
再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，
∵t＞0，
∴b=-t；
（2）①不变．
当x=1时，y=1-t，故M（1，1-t），
∵tan∠AMP=1，
∴∠AMP=45°；
②S=S四边形AMNP-S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM-S△PAM
= 1/2（t-4）（4t-16）+ 1/2[（4t-16）+（t-1）]×3- 1/2（t-1）（t-1）
= 3/2t²- 15/2t+6．
解 3/2t2- 15/2t+6= 21/8，
得：t1= 1/2，t2= 9/2，
∵4＜t＜5，
∴t1= 1/2舍去，
∴t= 9/2．

（3） 7/2＜t＜ 11/3．

Answer 3

最后一个直接写答案的问题，我来完善一下。
通过观察图形可以知道，抛物线将图中的八个“好点”平分的情况只有一种，即在（2，-3）、（2，-4）和（3，-1）、（3，-2）之间穿过。
可以列出一个不等式组：
-4<4-2t<-3和-2<9-3t<-1；
取不等式的公共部分：7/2<t<11/3.

Answer 4

解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0， 再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0， ∵t＞0， ∴b=-t； （2）①不变． 当x=1时，y=1-t，故M（1，1-t）， ∵tan∠AMP=1， ∴∠AMP=45°； ②S=S四边形AMNP-S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM-S△PAM = 1/2（t-4）（4t-16）+ 1/2[（4t-16）+（t-1）]×3- 1/2（t-1）（t-1） = 3/2t²- 15/2t+6． 解 3/2t2- 15/2t+6= 21/8， 得：t1= 1/2，t2= 9/2， ∵4＜t＜5， ∴t1= 1/2舍去， ∴t= 9/2． （3） 7/2＜t＜ 11/3．

Answer 5

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