Question

设正有理数a、b、c满足条件a+b+c≤4且ab+bc+ca≥4是证下面的三个不等式至少有两个成立a

Answer 1

∵a+b+c≤4
∴(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc≤16 ①
∵ab+bc+ca≥4 也即-(ab+bc+ca)≤-4 ②
①+3②a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc≤4
∴(a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)^2≤8
下面用反正法。
1.若|a-b|≤2, |b-c|≤2, |c-a|≤2全不成立，
即|a-b|>2, |b-c|>2, |c-a|>2
则(a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)^2=|a-b|^2+|b-c|^2+|a-b|^2>12与(a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)^2≤8矛盾，不成立
2.若有两项不成立，不妨令|a-b|>2, |b-c|>2, |c-a|≤2
则(a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)^2=|a-b|^2+|b-c|^2+|a-b|^2≥|a-b|^2+|b-c|^2>8与(a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)^2≤8矛盾，不成立
3.综上所述，|a-b|≤2, |b-c|≤2, |c-a|≤2至少有两项成立。

先通过变形化出所求的式子，然后对于“至少”“至多”这类问题，多用反证法解决。