求下列线性偏微分方程的通解，要详细过程。谢谢。。。题目见问题补充，满意可加分

求下列线性偏微分方程的通解(其中u=u(x,y)):(1)uxx+cu=0(分C>0,=0,<0);(2)uyy+uy=0.uxx是u关于x的二阶偏导，uyy同理，uy是... 求下列线性偏微分方程的通解(其中u = u(x, y)):
(1) uxx + cu = 0 (分C > 0,= 0,< 0);
(2) uyy + uy = 0.
uxx是u关于x的二阶偏导，uyy同理，uy是一阶偏导展开

1个回答

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drug2009
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1
u'x x+cu=0
xdu/dx+cu=0
du/u=-cdx/x
ln|u|=-cln|x|+lnC1 C1=f(y)+C01
u=C1*x^(-c)
通解u=(f(y)+C01)*x^(-c)

2
u''y+u'y=0
du'y/dy=-u'y
ln|u'y|=-y+lnC0 C0=f(x)+C02
u'y=C0e^(-y)
du/dy=C0e^(-y)
du=C0e^(-y)dy
u=C1-C0e^(-y) C1=g(x)+C03
通解
u=g(x)+C03-(f(x)+C02)e^(-y)

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追问

那个uxx不是u对x的一阶偏导乘以x，而是u对x的二阶偏导，下面的y也是，不好意思，不会打那个偏导数。。这种情况该怎么算呢

追答

u''x+cu=0
u'x=p    u''x=dp/dx=dp/du*du/dx=pdp/du
pdp/du+cu=0
pdp/du=-cu
dp^2=d(-c)u^2
p^2=(-c)u^2+C0      
p=√[(-c)u^2+C0]         或  p=-√[(-c)u^2+C0
du/dx=√[(-c)u^2+C0]
x=∫du/√[C0+(-c)u^2]           -x=∫du/√[C0+(-c)u^2]
c0
x=±[1/√(c)]arcsin[√(c/C0)u]+C1   C0=f(y)+C01  C1=g(y)+C02

∫du/√(1-u^2)=arcsinu