Question

如图，△ABC的高AD、BE相交于H，AD的延长线交过△ABC三个顶点的圆于F．

当AH等于该圆的半径时，求角ABF的度数！

Answer 1

△ABC是等边三角形时垂心H是外心，AF是直径，
∠ABF=90°。

追问

能详细点吗？怎么判断是等边的，为什么谁信是外心……表示不懂，谢谢

追答

难也！
您是哪个年级的学生？

追问

初三

追答

如果您不急，那么等我想想，看能否找到能让您理解的解法.
记a=BC,b=CA,c=AB,则
AD=csinB.
△ABC的面积=(1/2)a*AD=(1/2)acsinB,
同理，它=（1/2）absinC,
∴b/sinB=c/sinC,
同理，a/sinA=b/sinB=c/sinC,
不难证明c/sinC=2R,R是△ABC是外接圆半径，
△ABC的高AD、BE相交于H,
∴∠AHE=90°-∠CAD=∠C,
∴R=AH=AE/sinC=ccosA/sinC=2RcosA,
∴cosA=1/2,
∴∠A=60°.
无法确定∠ABF的大小.