Question

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0）的离心率为1/2，F1，F2分别为椭圆C的左右焦点，若椭圆C的焦距为2.

（1）求椭圆C的方程（2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，MF1为半径作圆M，当圆M与椭圆的右准线l有公共点时，求△MF1F2面积最大值。

Answer 1

解：（1）∵2c=2，且c／a=1／2，
∴c=1，a=2．
∴b²=3．
∴x²／4+y²／3=1．
（2）设M（x0，y0），
x0²／4+y0²／3=1．
∵F1（-1，0），a²／c=4，
∴直线lx=4．
由于圆M与l有公共点，
M到l的距离4-x0小于或等于圆的半径R．
R²=MF1²=（x0+1）²+y0²，
（4-x0）²≤（x0+1）2+y0²，
y0²+10x0-15≥0．
∵y0²=3(1-x0²／4)，
3-3x0²／4+10x0-15≥0．
∴4／3≤x0≤2．
当x0=4／3时，|y0|=√15／3，
(S△MF1F2)max=1／2×2×√15／3=√15／3．