Question

高分悬赏求高手帮助解答一道初中数学几何题

简单介绍一下题目：在直角三角形ABC中，AE=BC，EB=CD，求证角AOE=45度。本人数学水平已经很高，真心求教高手。如果没思路就别一直想，不想伤害无辜的脑细胞。
这道题的来历为某教育机构给老师的面试题，应该是某一年的中考题。当时面试笔试时我苦于做不错来这道题而信心大减，而今本人又开始准备下一家教育机构面，无奈这一道题又浮现在我面前。
...

Answer 1

如图1将ΔBEC绕点C逆时针旋转90度得到ΔB'E'C，连接DE'

则B'E'DC是矩形，CE=CE'，∠ECE'=90度，∠CEE'=45度

而BE=AC，所以AE=CB'=DE'，AE∥DE'，

所以四边形AEE'D是平行四边形，AD∥EE'

所以∠AOE=∠OEE'=45度。 

另一种解法(图2)

过点E做D'E垂直AB且D'E=BE

连结AD'，DD'

易证三角形ADD'是等腰直角三角形，CED'D是平行四边形，

∠AOE=∠ADD'=45度。

思路是做一个45度的角，也就是做一个等腰直角三角形。

Answer 2

解：作ME垂直于AB于E，交AD于H。作NC垂直于BC于C，ME与NC交于G。连接AG，GD。
易得四边形GEBC是矩形，△AEG、△GCD是等腰直角三角形。于是角AGE=角DGC=角DGE=45°，所以角AGD=角AGE+角DGE=90°。由△AEG、△GCD是等腰直角三角形可得AG=根号2GE=根号2CB，GD=根号2GC=根号2BE。于是在三角形AGD和三角形CBE中，AG/CB=GD/BE，角AGD=角CBE=90°，所以三角形AGD相似于三角形CBE，所以角GAD=角BCE=角GEC。在三角形AGH和三角形EOH中，角GAH=角OEH，角AHG=角EHO，所以角EOH=角AGH=45°。即角AOE=45°。

Answer 3

此题关键思路是构造一个等腰Rt△。
证明：过点E作EF∥CD且EF=CD，连接DF、AF，（图你自己画吧，我画不进去）
则四边形CEFD是平行四边形，于是有DF=CE
在Rt△AEF和Rt△CEB中，不妨设AE=BC=a，
EB=CD=b，则AF^2=AE^2＋EF^2=a^2＋b^2=EC^2
∴AF=EC，又∵四边形CEFD是平行四边形
∴EC∥DF且EC=DF
在Rt△ABD中，AD^2=AB^2＋BD^2=（a＋b）^2＋（a-b）^2=2（a^2＋b^2）
∴AD^2=AF^2＋DF^2，∴△FAD是等腰直角三角形
∴∠ADF=45°，∵EC∥DF
∴∠AOE=∠ADF=45°

Answer 4

有限制用什么方法做么?
我来提供一种非常简单的方法,设AB=b, BC=a (b>a)
易得BD=2a-b EB= a-b
而<AOE=<CEB-<DAB
而tg<CEB=CB/EB=a/(b-a), tg<DAB=DB/AB=(2a-b)/b
根据差角正切公式
tg<AOE= (tg<CEB-tg<DAB)/(1+tg<CEB*tg<DAB) =1 (代入计算)
所以角为45度

Answer 5

忙着出去不能帮你细细解释，给你个思路。
在c点做EB的平行线E'C，链接E'D并延长与EB的延长线相交于F点，链接BF。
证出CDE'是45°，找到对角BDF也是45°。
根据条件中的边长相等再往下推45角。
如果时间来得及，我回来再具体帮你算。