Question

已知二次函数f(x)=ax²+bx(a，b是常数，且a≠0)满足条件f(2)=0，且方程f(x)=x有等根

(1)求函数f(x)的解析式
(2)是否存在实数m，n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]?若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由
第二问

Answer 1

解：（1）∵f（2）=0

∴4a+2b=0即b=-2a

∵f（x）=x有两个相等的实数根．

即x2+（b-1）x=0有两个相等的实数根．

∴△=（b-1）2=0

∴b=1，a=-1 2 ，f（x）=-1 2 x2+x

（2）其图象如图所示

由函数的图象可知，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，1），单调递减区间为（1，+∞）

追问

第二问那

Answer 2

解：
(1) f(2) = 4a + 2b = 0, 2a + b = 0
f(x) = ax² + bx = x
ax² + (b-1)x =0
x(ax + b-1) = 0
其一个根为0，令一个根也为0，b-1=0， b=1； a = -1/2
f(x) = -x²/2 +x

(2) 存在。
解：由题可解得a=-0.5 b=1，即f(x)=ax2+bx=-.05x2+x=-0.5（x-1）2+0.5，可得f(x)≤0.5，且是关于x=1对称的函数，在x≤1时，是递增函数，在x≥1时是递减函数。
若要存在值域[2m,2n]，就得使2m＜2n≤0.5，得m＜n≤0.25，所以若要存在实数m,n(m≠n)使定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n]，那根据函数可使f(m)=-0.5m2+m=2m，f(n)=-0.5n2+n=2n。解得m=-2，n=0。