Question

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)，f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值为-1.

（1）求函数f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（-x）-mf（x）+1.若g（x）在[-1，1]上是减函数，求实数m的取值范围

Answer 1

解：∵f(-1)=0
∴a-b+c=0①
∵x≤f（x）≤ (1+x²) /2 对一切x∈R均成立，
∴当x=1时也成立，即1≤a+b+c≤1．
故有a+b+c=1．②
由①②得b=1/2，c=1/2 -a．
∴f（x）=ax²+1/2x+1/2 -a．
则x≤ax²+1/2x+1/2-a≤(1+x²) /2 对一切x∈R成立，
也即ax²-1/2x+1/2-a≥0
(1−2a)x²−x+2a≥0
故下面4个条件都必须同时符合：

a＞0

（－1/2）²－4a(1/2-a)≤0
1−2a＞0
1−4(1−2a)·2a≤0

解得a=1/4
∴c=1/2-a=1/4

∴当a=1/4，b=1/2,c=1/4时，x≤f(x)≤(1+x²）/2对一切x都成立。
请采纳答案，支持我一下。

追问

您解答的似乎与问题不符..

Answer 2

f(x)=x*2 +2x.

m<1

追问

能提供一些过程吗？谢谢、

Answer 3

（1）f(x)=ax²+bx+c,f(-2)=4a-2b+c=0
f(0)=c=0
∴4a-2b=0
∵(4ac-b²)/4a=-1
∴-b²/4a=-1
解方程组得：a=-1
b=-2
∴f(x)=-x²-2x
（2）f(-x)=-x²+2x
∴g(x)=-x²+2x-m(-x²-2x)+1=(-1-m)x²+(2-2m)x+1
若使g(x)在[-1,1]上是减函数
则-1-m＞0
∴m≤-1